BeltistopoÐhsh. Dr. Dhm trhc Swthrìpouloc. Tm ma Thlepikoinwniak Susthmˆtwn kai DiktÔwn. Tetˆrth, 7 OktwbrÐou 2009

BeltistopoÐhsh Μάθημα 1ο Dr. Dhm trhc Swthrìpouloc Tm ma Thlepikoinwniak Susthmˆtwn kai DiktÔwn Tetˆrth, 7 OktwbrÐou 2009

Majhmatikìc Programmatismìc Μαθηματικός προγραμματισμός (Mathematical Programming): Είναι ένας σχετικά νέος κλάδος της Επιχειρησιακής Ερευνας, που θεμελιώθηκε μετά το Β Παγκόσμιο πόλεμο. Επιχειρησιακή Ερευνα (Operations Research): Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση (optimization της απόδοσης ενός συστήματος. πρόκειται για ένα σύνολο από τεχνικές, οι οποίες χρησιμοποιώντας μαθηματικά μοντέλα, δημιουργούν μια ποσοτική και ορθολογιστική βάση για τη λήψη αποφάσεων που θα βελτιστοποιήσουν τη λειτουργία του συστήματος Η Επιχειρησιακή έρευνα είναι epist mh (Majhmatikèc Teqnikèc kai MejodologÐa EpÐlushc Problhmˆtwn) tèqnh (anjr pinoc parˆgontac kai h katˆllhlh lôsh gia to katˆllhlo prìblhma) Page 2 of 75

Majhmatikìc Programmatismìc Ο όρος «Προγραμματισμός» στην περιγραφή του νέου κλάδου χρησιμοποιήθηκε με την έννοια του σχεδιασμού συστημάτων ή δραστηριοτήτων και όχι με την έννοια της ανάπτυξης προγραμμάτων για ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Αντικείμενο ΜΠ: Αποσκοπεί στην επίλυση προβλημάτων κατανομής περιορισμένων πόρων κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο (βελτιστοποίηση). Page 3 of 75

Efarmogèc MajhmatikoÔ ProgrammatismoÔ (MP) Βιομηχανία. Η Digital Equipment Corporation (DEC) εξοικονόμησε πάνω από 100 εκατομμύρια δολάρια χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο ΜΠ για να καθορίσει την παγκόσμια στρατηγική κατασκευής και διανομών. Arntzen et al. (1995) Μεταφορές. Οι αεροπορικές εταιρείες Lufthansa, KLM, SAS και Alitalia χρησιμοποιούν ένα σύστημα που βασίζεται στο ΜΠ για τον προγραμματισμό των πληρωμάτων τους. Housos and Elmroth (1997) Περιβάλλον. Η τοπική αυτοδιοίκηση σε ορισμένες περιοχές της Βόρειας Καρολίνας στις ΗΠΑ χρησιμοποιεί το ΜΠ για το σχεδιασμό ενός συστήματος διαχείρισης στερεών αποβλήτων. Ferrel kai Hizlan (1997) Page 4 of 75

Efarmogèc MajhmatikoÔ ProgrammatismoÔ (MP) Εκπαίδευση. Το Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου UCLA χρησιμοποιεί, μεταξύ άλλων, το ΜΠ για το σχεδιασμό του ωρολογίου προγράμματος των φοιτητών. Stallaert (1997) Υγεία. Η Διεύθυνση Υγείας στην Ανδαλουσία της Ισπανίας αποφασίζει για την κατανομή του προσωπικού και των άλλων πόρων στα νοσοκομεία της περιοχής με βάση ένα μοντέλο ΜΠ το οποίο έχει ως στόχο την ελαχιστοποίηση των παραπόνων των ασθενών. Carrizosa et al. (1992) Ενέργεια. Η Επιτροπή Σχεδιασμού της Κίνας και η Διεθνής Τράπεζα χρησιμοποιούν ένα μοντέλο ΜΠ για το σχεδιασμό επενδύσεων στον τομέα της ενέργειας. Το μοντέλο έχει αποφέρει κέρδη 6,4 δις δολάρια μέχρι το 2005. Kubz et al. (1995) Page 5 of 75

Ενα ακριβές μοντέλο αναπαριστά ικανοποιητικά όλα τα στοιχεία τα οποία εκτιμάται ότι είναι απαραίτητα για τη λήψη «κάποιας» απόφασης για την επίλυση του προβλήματος, ενώ δεν περιέχει άσχετες με αυτό λεπτομέρειες ή υποθέσεις. Page 6 of 75 Sust mata - Montèla Με τη λέξη «σύστημα» αναφερόμαστε στις πάσης φύσεως: Επιχειρήσεις, Βιομηχανίες, Κρατικές υπηρεσίες, Οργανισμούς παροχής υπηρεσιών, κ.λ.π. Σε κάθε περίπτωση, είναι απαραίτητη η χρήση ενός κατάλληλου μαθηματικού μοντέλου, δηλ. «μιας αναπαράστασης του συστήματος στην οποία, οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών σχέσεις, έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ μαθηματικών στοιχείων, ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθεί» Η τυπική μορφή ενός μαθηματικού μοντέλου (αιτιοκρατικό ή στοχαστικό) έχει την εξής οργάνωση:

Fˆseic efarmog c MP 1 Αναγνώριση και διατύπωση του προβλήματος 2 Ανάπτυξη ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου) 3 Επίλυση του μοντέλου Pollèc ètoimec teqnikèc (Software: Excel-Solver; Win QSB; Lindo) WinQSB: www.ionio.gr/ dgs/winqsb.zip (3,9 MB) Bèltistec lôseic / Paradektèc lôseic Anˆlush euaisjhsðac LINDO: www.ionio.gr/ dgs/lindo.rar (9,9 MB) 4 Εφαρμογή και αξιοποίηση της λύσης Uper-aplousteÔseic? Paral yeic? Lˆjoc ektðmhsh? Page 7 of 75

Perioqèc kai ParadeÐgmata Efarmog c Paragwg Προγραμματισμός παραγωγής Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού Anjr pino dunamikì Αξιολόγηση/επιλογή προσωπικού Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων DÐktua, metaforèc, efodiasmìc Προγραμματισμός διανομής προϊόντων Επιλογή μέσου μεταφοράς Επιλογή τόπου εγκατάστασης Επιλογή προμηθευτών Page 8 of 75

Perioqèc kai ParadeÐgmata Efarmog c Qrhmatooikonomikˆ Αξιολόγηση επενδύσεων Διαχείριση χαρτοφυλακίου Marketing Πωλήσεις Σχεδιασμός νέων προϊόντων Προσδιορισμός τιμής πώλησης Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων Αξιολόγηση πωλητών, δικτών διανομής Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας Orgˆnwsh, DioÐkhsh Καθορισμός περιοχών ευθύνης Ανασχεδιασμός μονάδων Page 9 of 75

DiadikasÐa l yhc apofˆsewn 1 Προετοιμασία 2 Ανάλυση Anagn rish kai saf prosdiorismì tou probl matoc AparÐjmhsh efikt n (enallaktik n) lôsewn Kajorismì krithrðwn axiolìghs c Axiolìghsh twn efikt n lôsewn me bˆsh ta krit ria, kai Epilog bèltisthc lôshc (= l yh apìfashc). 3 Αξιολόγηση Efarmog thc bèltisthc lôshc, kai Axiolìghsh twn apotelesmˆtwn thc. Η διατύπωση ενός μαθηματικού οντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά όλες τις πτυχές του προβλήματος, είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης. Page 10 of 75

Stìqoc Page 11 of 75

DiatÔpwsh MajhmatikoÔ Montèlou (1) Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού προτύπου, που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα. Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων Κατασκευή του σχετικού μοντέλου Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης Αναλυτικότερα: Page 12 of 75

DiatÔpwsh MajhmatikoÔ Montèlou (2) Orismìc tou probl matoc Στη φάση αυτή, προσδιορίζονται οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος, οι επιθυμητοί στόχοι, οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του, συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και περιορισμών δεδομένα και γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους. Page 13 of 75

DiatÔpwsh MajhmatikoÔ Montèlou (3) H anˆptuxh tou montèlou Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές και/ή λογικές σχέσεις. Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της εισόδου και της εξόδου από αυτό. Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι, οι μεταβλητές απόφασης και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης. Η μαθηματική αναπαράσταση του αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο. Page 14 of 75

DiatÔpwsh MajhmatikoÔ Montèlou (4) Page 15 of 75

DiatÔpwsh MajhmatikoÔ Montèlou (5) Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί. Κατά συνέπεια, αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την αντικειμενική συνάρτηση. Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές παραμένουν (γνωστές) σταθερές, καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες. Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές απόφασης Ανάλογα, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από κάποια άλλη. Page 16 of 75

DiatÔpwsh MajhmatikoÔ Montèlou (6) Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του, δηλ. na prosdioristoôn ekeðnec oi timèc twn metablht n apìfashc oi opoðec, ikanopoi ntac touc leitourgikoôc periorismoôc tou sust matoc, ja beltistopoi soun to krit rio epðdoshc. Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων, και κατάλληλο λογισμικό(excel-solver; WinQSB; Lindo;) Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis), εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και μεταβολή της λύσης). Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν. Page 17 of 75

Teqnikèc Posotik c Anˆlushc Βελτιστοποίηση Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming) Orismìc kai orologða Mèjodoc Simplex Duikì prìblhma (dual problem) Anˆlush euaisjhsðac Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integer programming) Μη γραμμικός προγραμματισμός Ειδικά προβλήματα Prìblhma metaforˆc (transportation problem) Prìblhma anˆjeshc (assignment problem) Page 19 of 75

Ti eðnai o Grammikìc Programmatismìc Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων. Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων, mporeð na eðnai diaforetikˆ ependutikˆ sqèdia pou epizhtoôn qrhmatodìthsh, diaforetikˆ proðìnta pou parˆgontai apì diajèsimec pr tec Ôlec, diaforetikèc diadromèc pou mporeð na akolouj soun proðìnta pou diakinoôntai se proorismoôc klp. Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση (μεγιστοποίηση, ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος, κόστος παραγωγής, μερίδια αγοράς, πωλήσεις προϊόντων, κλπ Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και περιορισμούς για κάθε πρόβλημα π.χ. διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης (εργασία, κόστος πρώτες ύλες, δυναμικότητα του εξοπλισμού, διαθέσιμα κεφάλαια, κανόνες ζήτησης προϊόντων, κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ) Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα και δυνάμεις μεταβλητών). Page 20 of 75

Tupikˆ probl mata pou epilôontai me GP To prìblhma metaforˆc Εύρεση του συντομότερου / οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων, αποθηκών, σημείων πώλησης κλπ To prìblhma paragwg c proðìntwn Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις To prìblhma meðxhc pr twn ul n Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος, ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ., όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη αναλογία μείξης Page 21 of 75

Tupikˆ probl mata pou epilôontai me GP Epilog qartofulakðou, ependutik n sqedðwn Με δεδομένο το κεφάλαιο, ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου Programmatismìc anjr pinou dunamikoô Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες, θέσεις εργασίας) κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ. κατανομή φόρτου εργασίας, απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ 'Allec parìmoiec efarmogèc Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων Page 22 of 75

O trìpoc anˆptuxhc enìc montèlou (modelling) 1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές, (ελεγχόμενες, μη ελεγχόμενες) που εκφράζουν τις άγνωστες, προς εκτίμηση, ποσότητες, αξίες κλπ. του προβλήματος Metablhtèc apìfashc (decision variables) 2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης Antikeimenik Sunˆrthsh (objective function) 3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με μαθηματικές εκφράσεις PeriorismoÐ (constraints) Page 23 of 75

Parˆdeigma: To prìblhma Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα προϊόντα, (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες, εργατικό δυναμικό, εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης). Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος Pìroi proc qr sh Proðìn A Proðìn B Diaj. posìthta Gˆla (se lðtra) 1 1 550 ErgasÐa (se rec) 1 3 1000 Exoplismìc (se leptˆ) 2 5 2000 Z thsh (se monˆdec) 400 aperiìristh Kèrdoc anˆ monˆda 1,5 2 posìthtec kai z thsh anafèrontai se mia ebdomˆda Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής (συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν) ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος. Page 24 of 75 Oi

Parˆdeigma: MontelopoÐhsh Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ. ποσότητα Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550 Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000 Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000 Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη Κέρδος ανά μονάδα 1,5 2 Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα B ma 1. Poiec eðnai oi metablhtèc apìfashc? Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο κέρδος από την πώληση των προϊόντων) x 1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία εβδομάδα x 2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία εβδομάδα Page 25 of 75

Parˆdeigma: MontelopoÐhsh Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ. ποσότητα Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550 Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000 Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000 Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη Κέρδος ανά μονάδα 1,5 2 Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα B ma 2. Poia eðnai h antikeimenik sunˆrthsh? Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από το προϊόν Β (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) * παραγόμενη ποσότητα του Α + (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) * παραγόμενη ποσότητα του Β z = 1, 5x 1 + 2x 2 Είδος βελτιστοποίησης : μεγιστοποίηση Αντικειμενική συνάρτηση: max z = 1, 5x 1 + 2x 2 Page 26 of 75

Parˆdeigma: MontelopoÐhsh Pìroi proc qr sh Proðìn A Proðìn B Diaj. posìthta Gˆla (se lðtra) 1 1 550 ErgasÐa (se rec) 1 3 1000 Exoplismìc (se leptˆ) 2 5 2000 Z thsh (se monˆdec) 400 aperiìristh Kèrdoc anˆ monˆda 1,5 2 Oi posìthtec kai z thsh anafèrontai se mia ebdomˆda B ma 3. Poioi eðnai oi periorismoð? 1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550 λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x 1 + x 2 550 2 Η συνολική απαιτούμενη εργασία διαθέσιμη εργασία (1000 ώρες) x 1 + 3x 2 1000 3 Η συνολική επεξεργασία διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά) 2x 1 + 5x 2 2000 4 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α 400 μονάδες x 1 400 5 Οι τιμές των x 1, x 2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα πρέπει να είναι θετικές x 1, x 2 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας) Page 27 of 75

x 1, x 2 0 Page 28 of 75 Parˆdeigma: H telik morf tou montèlou Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ. ποσότητα Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550 Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000 Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000 Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη Κέρδος ανά μονάδα 1,5 2 Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα Montèlo grammikoô programmatismoô maximize z = 1, 5x 1 + 2x 2 κάτω από τους περιορισμούς (κέρδος σε ευρώ) x 1 + x 2 550 (γάλα) x 1 + 3x 2 1000 (εργασία) 2x 1 + 5x 2 2000 (επεξεργασία) x 1 400 (ζήτηση)

Parˆdeigma: H lôsh tou montèlou Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x 1, x 2 που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions) π.χ. x 1 = 300, x 2 = 200. Το ζεύγος (x 1, x 2 ) = (300, 200) αποτελεί σημείο της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου). Δίνει τιμή αντικειμενικής συνάρτησης z = 1, 5 300 + 2 200 = 850. Είναι όμως η μεγαλύτερη δυνατή; Η λύση (x 1, x 2 ) = (200, 300) δίνει τιμή z = 900 αλλά παραβιάζει τον δεύτερο περιορισμό. Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή. Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (x 1, x 2) = (325, 225) και δίνει z = 937, 5 (optimal value). Page 29 of 75

Parˆdeigma 2 Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της. Η προβολή θα γίνει από την τηλεόραση, αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες: την πρωινή και τη βραδινή. Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε 1, 500, 000 ενώ στη βραδινή σε 2, 500, 000 Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν (κατά μέσο όρο) 300, 000 γυναίκες και μόνον 50, 000 άντρες, ενώ ένα μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο όρο 200, 000 γυναίκες και 250, 000 άντρες. Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική καμπάνια) θα ήθελε, να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15,000,000 γυναίκες και τουλάχιστον 9, 000, 000 άντρες. Επιθυμητό είναι επίσης, οι προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη. Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος Page 30 of 75

Parˆdeigma 2 H antikeimenik sunˆrthsh Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων στην πρωινή και βραδινή ζώνη. Συνεπώς, ορίζουμε να είναι: x 1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί x 2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ Ενδιαφερόμαστε, επομένως: minimize z = 1, 500, 000x1 + 2, 500, 000x2 Oi periorismoð 1 τουλάχιστον 15,000,000 γυναίκες να δουν το μήνυμα: 300, 000x 1 + 200, 000x 2 15, 000, 000 0.3x 1 + 0.2x 2 15 2 τουλάχιστον 9,000,000 άντρες να δουν το μήνυμα: 50, 000x 1 + 250, 000x 2 9, 000, 000 0.05x 1 + 0.25x 2 9 3 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη: x 2 20 4 Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των μεταβλητών: x 1, x 2 0 Page 31 of 75

Parˆdeigma 2 Montèlo grammikoô programmatismoô minimize z = 1, 5x 1 + 2, 5x 2 κάτω από τους περιορισμούς (συνολικό κόστος) 0.3x 1 + 0.2x 2 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες) 0.05x 1 + 0.25x 2 9 (τηλεθέαση σε άνδρες) x 2 20 (βραδινή ζώνη) x 1, x 2 0 EÐnai èna prìblhma GrammikoÔ ProgrammatismoÔ ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης. οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των μεταβλητών απόφασης Page 32 of 75

Parˆdeigma 2: H lôsh tou montèlou minimize z = 1, 5x 1 + 2, 5x 2 (συνολικό κόστος) κάτω από τους περιορισμούς 0.3x 1 + 0.2x 2 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες) 0.05x 1 + 0.25x 2 9 (τηλεθέαση σε άνδρες) x 2 20 (βραδινή ζώνη) x 1, x 2 0 Page 33 of 75

'Askhsh: Ti eðnai swstì kai ti lˆjoc? 1 Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες. Οι περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται. Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε διαφορετικά μεγέθη, επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες. (ΛΑΘΟΣ) 2 Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες. Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες μονάδες, θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (π.χ. ώρες με ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός. (ΣΩΣΤΟ) 3 Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες.οι μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε. Μπορεί να υπάρχουν διάφορα τέτοια μεγέθη, τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες. (ΛΑΘΟΣ) 4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες. Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού, έτσι και οι όροι της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες, για να μην υπάρχει ασυμβατότητα. (ΣΩΣΤΟ) Page 34 of 75

Grammikìc Programmatismìc: SÔnoyh Ti eðnai? Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων (μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Basikˆ stoiqeða Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές απόφασης). Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί). Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές. Προγραμματισμός = Σχεδίαση Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης Page 35 of 75

OrismoÐ Orismìc 1. (grammik sunˆrthsh) Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f : R n R είναι γραμμική αν και μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c 1, c 2,..., c n ισχύει f(x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n Orismìc 2. Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π) όταν 1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. 2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο περιορισμών. Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή ανίσωση. 3 Κάθε μεταβλητή x j είναι μη αρνητική (x j 0) ή δεν έχει περιορισμό στο πρόσημο. Page 36 of 75

OrismoÐ Orismìc 3. Κάθε συνδυασμός τιμών (x 1, x 2,..., x n ) των μεταβλητών απόφασης ενός π.γ.π. ονομάζεται λύση του προβλήματος. Orismìc 4. Το υποσύνολο F του R n που σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις x = (x 1, x 2,... x n ) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός π.γ.π. ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του π.γ.π., τα δε σημεία x εφικτές λύσεις. Μια λύση, που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς, ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του π.γ.π. Page 37 of 75

OrismoÐ Orismìc 5. Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε εφικτή λύση, η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση: x F : f(x ) f(x) x F. Ομοια σ ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε: x F : f(x ) f(x) x F. Parat rhsh. Τα πιο πολλά π.γ.π. έχουν μόνο μια άριστη λύση. Εντούτις υπάρχουν π.γ.π. που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις Page 38 of 75

Grafik EpÐlush p.g.p. Οποιοδήποτε π.γ.π. με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά. Ονομάζουμε τις μεταβλητές x 1, x 2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων. Sth sunèqeia ja prèpei diadoqikˆ na: 1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες), τις ευθείες όλων των περιορισμών του προβλήματος, 2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή, 3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες σταθερού κέρδους), 4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, 5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή, 6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση), 7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο αυτό (μέγιστη/ελάχιστη τιμή). Page 39 of 75

Pou brðsketai h ˆristh lôsh? Je rhma. Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής (αποδεικνύεται και μαθηματικά). EÐnai exairetikˆ shmantikì, diìti: με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της. αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου πλήθους). Orismìc. Ενας περιορισμός π.γ.π. χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη λύση τον καθιστά ισότητα. Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός. Page 40 of 75

Parˆdeigma. Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x 1 και υδροχρώματος x 2 που πρέπει να παραχθούν ημερήσια, κατά τρόπο ώστε: maximize z = 300x 1 + 200x 2 κάτω από τους περιορισμούς x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 8 x 1 + x 2 1 x 2 2 x 1, x 2 0 (συνολικό κέρδος) Page 41 of 75

Grafik EpÐlush paradeðgmatoc (1) maximize z = 300x 1 + 200x 2 (sunolikì kèrdoc) kˆtw apì touc periorismoôc x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 8 x 1 + x 2 1 x 2 2 x 1, x 2 0 Page 42 of 75

Grafik EpÐlush paradeðgmatoc (7) Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις, μπορούμε να βρούμε την άριστη λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική συνάρτηση z = 300x 1 + 200x 2 μεγαλώνει. Ευθεία γ 1 : 300x 1 + 200x 2 = 600 Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600, 900,... οι αντίστοιχες ευθείες γ 1, γ 2,... είναι παράλληλες και συνεχώς απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων. Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες, υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες σταθερού κέρδους) Page 48 of 75

Parˆdeigma 2. Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών «ΞΥΛΑΞ» παράγει αποκλειστικά στρατιωτάκια και τρενάκια. Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική εργασία και δύο ώρες βάψιμο, με κόστος 1000 δρχ. σε πρώτες ύλες και 1400 δρχ. σε εργατικά. Αντίστοιχα, για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία και μία ώρα βάψιμο, ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ. για πρώτες ύλες και 1000 δρχ. για εργατικά. Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην «ΞΥΛΑΞ», έδειξε ότι εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και 100 ώρες για βάψιμο, ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια. Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ. κι από κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ. προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της «ΞΥΛΑΞ». Page 49 of 75

Parˆdeigma 2. Metablhtèc x 1 : ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία. x 2 : ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία. Antikeimenik sunˆrthsh Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε: κέρδη = έσοδα κόστος πρώτης ύλης κόστος εργατικών Στο πρόβλημα μας είναι: εβδομαδιαία έσοδα = 2700x 1 + 2100x 2 εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x 1 + 900x 2 εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x 1 + 1000x 2 κι άρα: z = (2700x 1 +2100x 2 ) (1000x 1 +900x 2 ) (1400x 1 +1000x 2 ) = (300x 1 +200x 2 ) Maximize z = (300x 1 + 200x 2 ) Page 50 of 75

Parˆdeigma 2. PeriorismoÐ για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο, για το ένα τρενάκι 1, ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100: 2x 1 + x 2 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα) για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής εργασίας, για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα, ενώ οι διαθέσιμες εβδομαδιαία ώρες είναι 80: x 1 + x 2 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα) η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια την εβδομάδα: x 1 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια) φυσικά έχουμε και x 1, x 2 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών) Page 51 of 75

Parˆdeigma 2: Grafik epðlush (1) kˆtw apì touc periorismoôc maximize z = 300x 1 + 200x 2 (sunolikì kèrdoc) 2x 1 + x 2 100 (diajèsimec rec bayðmatoc) x 1 + x 2 80 (diajèsimec rec xulourgik c ergasðac) x 1 45 (aporrìfhsh agorˆc se stratiwtˆkia) x 1, x 2 0 Page 52 of 75

Desmeutikìc qalarìc periorismìc Orismìc. Ενας περιορισμός π.γ.π. χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση τον καθιστά ισότητα. Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός. Parˆdeigma thc {XULAX} (x 1, x 2) = (20, 60) Οι περιορισμοί: 2x 1 + x 2 100 x 1 + x 2 80 είναι δεσμευτικοί. Ενώ ο περιορμός x 1 45 είναι χαλαρός. Gewmetrikˆ Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός, δεν ανήκει σ αυτούς που ορίζουν την κορυφή της άριστης λύσης του π.γ.π. Page 57 of 75

Desmeutikìc qalarìc periorismìc Gewmetrikˆ Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός, δεν ανήκει σ αυτούς που ορίζουν την κορυφή της άριστης λύσης του π.γ.π. Η άριστη λύση Δ(20,60) βρίσκεται στην τομή των ευθειών (3) και (4) που είναι δεσμευτικοί. Ενώ υπάρχει δυνατότητα απορρόφησης από την αγορά 45 ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός (5) ), κατασκευάζονται τελικά μόνο 20. Η ποσότητα των 25 ξύλινων στρατιωτών που υπολείπεται, ονομάζεται περιθώρια τιμή του 5ου περιορισμού. Page 58 of 75

Parˆdeigma 3. Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά αυτοκίνητα. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής. Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα, ενώ αν στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν ημερήσια 40 αυτοκίνητα. Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή) και 60 (βαφή). Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3,000,000 δρχ και από κάθε επιβατικό σε 2,000,000 δρχ. προσδιορίστε την ημερήσια παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας. LÔsh x 1 : ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια x 2 : ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια Page 59 of 75

Antikeimenik sunˆrthsh z = 3x 1 + 2x 2 (συνολικό κέρδος σε εκατ.) PeriorismoÐ Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας 1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι, αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50 φορτηγά, για τα x 1 που θα παραχθούν απαιτείται x 1 /50 της ημέρας. Ομοίως απαιτείται x 2 /50 της ημέρας για την παραγωγή των x 2 επιβατικών αυτοκινήτων. Επομένως θα πρέπει: x 1 /50 + x 2 /50 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής) 2 Αναφορικά με τη βαφή, τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι χρειάζεται x 1 /40 ημέρας για τη βαφή των x 1 φορτηγών και x 2 /60 ημέρας για τη βαφή των x 2 επιβατικών αυτοκινήτων. Αρα: x 1 /40 + x 2 /60 1 ημέρας (βαφή) 3 Τέλος, αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού αυτοκινήτων θα είναι και x 1, x 2 0. Page 60 of 75

Parˆdeigma 3: Grafik epðlush maximize z = 3x 1 + 2x 2 (sunolikì kèrdoc se ekat.) kˆtw apì touc periorismoôc x 1 x 2 + 1 (gramm paragwg c) x 50 50 1 x 2 + 1 (baf ) 40 60 x 1, x 2 0 Page 61 of 75

Parˆdeigma 3: Grafik epðlush Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή γ 1 που διέρχεται από το σημείο (20, 0) γ 1 : 3x 1 + 2x 2 = 60 Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ 1 σε κατεύθυνση βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες λύσεις. Page 62 of 75

Parˆdeigma 4: Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων, πως διαμορφώνεται η πολιτική παραγωγής Το π.γ.π. που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος: maximize z = 3x 1 + 2x 2 κάτω από τους περιορισμούς x 1 + x 2 1 x 50 50 1 + x 2 1 40 60 x 1 30 x 2 20 x 1, x 2 0 Page 63 of 75 (συνολικό κέρδος σε εκατ.)

Parˆdeigma 4: Grafik epðlush (1) maximize z = 3x 1 + 2x 2 (sunolikì kèrdoc se ekat.) kˆtw apì touc periorismoôc x 1 + x 2 1 x 50 1 + x 50 2 1 40 60 x 1 30 x 2 20 x 1, x 2 0 Page 64 of 75

Parˆdeigma 4: Grafik epðlush (5) Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = ) και το π.γ.π. που παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο π.γ.π) Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί. Εδώ για παράδειγμα, η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων: 30/40 + 20/60 = 260/240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1) Page 68 of 75

x 1, x 2 0 Page 69 of 75 Parˆdeigma 5: Σ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου: Προϊόν Κόστος/κιλό Πρωτεΐνες (%) Λίπος (%) Α 600 30 15 Β 500 20 30 Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 1.5 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 0.9 κιλά λίπους υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί το κόστος του κυνοτροφείου. minimize z = 600x 1 + 500x 2 κάτω από τους περιορισμούς 0.30x 1 + 0.20x 2 1.5 0.15x 1 + 0.30x 2 0.9

Parˆdeigma 5: Grafik epðlush Η εφικτή περιοχή του προβλήματος ορίζεται από τα σημεία Α(6,0), Β(4.5,0.75), Γ(0, 7.5) και τους θετικούς ημιάξονες, είναι δε μη φραγμένη. Σ ένα π.γ.π. με μη φραγμένη εφικτή περιοχή δεν δημιουργείται κατ ανάγκη πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης λύσης. Page 70 of 75

Parˆdeigma 5: Grafik epðlush Για να βρούμε την άριστη λύση κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή γ 1 που διέρχεται από το σημείο (5, 5), γ 1 : 600x 1 + 500x 2 = 5500 {mh fragmèno p.g.p.} dhl. z ± Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης, μετακινούμε την ευθεία γ 1 παράλληλα έτσι ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες σταθερού κόστους). Η περίπτωση ενός μη φραγμένου π.γ.π., στην οποία συνυπάρχει εκ των πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής, προκαλείται από σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου. Π.χ. δεν είναι δυνατό, αν η αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη, αυτά να τείνουν στο άπειρο. Page 71 of 75

'Askhsh 1. Mia bioteqnða paignidi n diajètei se panell nia bˆsh dôo diaforetikˆ eðdh neropðstolwn, to Space Ray kai to Super X-Ray. Ta dôo paignðdia, apodeðqthkan idiaðtera dhmofil metaxô twn paidi n, kurðwc gia paignðdia sth jˆlassa, ste na mhn parathreðtai kanèna apolôtwc prìblhma sthn aporrofhtikìthta touc apì thn agorˆ: ìsa paignðdia kataskeuˆzontai diatðjentai amèswc. Kai ta dôo paignðdia gðnontai apokleistikˆ apì kˆpoio eidikì meðgma plastikoô kai pwloôntai se suskeuasðec twn 12. Ston pðnaka pou akoloujeð dðnontai oi kataskeuastikèc apait seic twn dôo proðìntwn se pr tec Ôlec: MeÐgma PlastikoÔ Qrìnoc Paragwg c Proðìn (Kgr anˆ 12-ˆda) (min anˆ 12-ˆda) Space Ray 2 3 Super X-Ray 1 4 Se hmer sia bˆsh, h bioteqnða mporeð na èqei 1,200 Kgr apì to plastikì meðgma kai 40 anjrwpo rec gia thn kataskeuastik diadikasða. To tm ma pro jhshc pwl sewn thc bioteqnðac, sthn prospˆjeia dhmiourgðac suneqoôc z thshc twn dôo proðìntwn pou kˆnei, èqei epibˆllei dôo aploôc kanìnec: (i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepernˆ tic 800 12-ˆdec, (ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofìrou Space Ray na mhn xepernˆ tic 450 12-ˆdec ekeðnhc tou Super X-Ray. An to kèrdoc apì thn kˆje 12-ˆda Space Ray kai Super X-Ray anèrqetai antðstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikèc monˆdec upodeðxte èna p.g.p. gia thn eôresh thc gramm c paragwg c h opoða megistopoieð ta sunolikˆ hmer sia kèrdh. Page 72 of 75

'Askhsh 1. Page 73 of 75

'Askhsh 2. O Baggèlhc, ènac tritoet c foitht c tou IonÐou PanepisthmÐou, pisteôei ìti diaskèdash kai diˆbasma prèpei na phgaðnoun mazð. Gia to lìgo autì prospajeð na kataneðmei èna qrìno 10 wr n thn hmèra anˆmesa touc. Arqikˆ ektðmhse ìti h diaskèdash tou prosfèrei dôo forèc perissìterh qarˆ apì ìti to diˆbasma. Parìla autˆ epijumeð na diabˆzei toulˆqiston ìsh ra diaskedˆzei. Sth sunèqeia br ke ìti gia na kˆnei ìlh th douleiˆ pou tou anajètoun den mporeð na diaskedˆzei perissìtero apì 4 rec thn hmèra. Pìsec rec thn hmèra prèpei na diabˆzei kai pìsec na diaskedˆzei ste na èqei th mègisth dunat qarˆ; Page 74 of 75

'Askhsh 2. Page 75 of 75